Approssimazioni razionali a e

Questa mattina Dave Richeson postato una prova divertente falso che dipende, per il ravvicinamento famoso 22/7 per pi. Mi venne in mente che quasi tutti sanno una approssimazione decente razionale pi. Alcune persone possono sapere di più. Ma quasi nessuno, me compreso, conosce una decente approssimazione razionale per  posta .

Un'altra approssimazione per pi è 355/113. Mi piace questa approssimazione perché è facile da ricordare: prendere la sequenza 113355, dividerlo a metà, e farne una frazione. E 'preciso a sei cifre decimali, il che è sufficiente per la maggior parte delle applicazioni pratiche.

Le approssimazioni 22/7 e 355/113 sono parte della sequenza di approssimazioni provenienti dal ravvicinamento frazione continua per pi. Quindi, per venire con approssimazioni razionali per  posta , mi voltai verso la sua rappresentazione frazione continua.

La migliore approssimazione analogica del 22/7 per pi può essere il ravvicinamento 19/7 per  posta .Ovviamente i denominatori sono gli stessi, e la precisione delle due approssimazioni approssimativamente paragonabile.

Ecco come potete fare le vostre proprie approssimazioni razionali per  posta . Trovare i coefficienti nella frazione continua per  posta , per esempio  qui . È possibile trasformare questo in una sequenza di approssimazioni utilizzando il seguente codice Python:

01.dal __future__ import divisione

02.dal math import e

03. 

04.e_frac = [ 2 , 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 ]

05. 

. 06def display (n, d, esatto):

07.stampa n, d, n / d, n / d - precisa

08. 

. 09def circa (a, esatto):

10.# inizializzare la ricorrenza

11.n0 = a [ 0 ]

12.d0 = 1

13.n1 = a [ 0 ] * a [ 1 ] + 1

14.d1 = un [ 1 ]

15. 

16.display (n0, d0, esatto)

17.display (n1, d1, esatto)

18. 

19.per x in un [ 2 ]:

20.n = x * n1 + n0 # numeratore

21.d = x * d1 + d0 # denominatore

22.display (n, d, esatto)

23.n1, n0 = n, n1

24.d1, d0 = d, d1

25. 

26.circa (e_frac, e)

Questo stamperà il numeratore, denominatore, il valore e di errore per ogni approssimazione. È possibile includere più termini nella frazione continua per  e  se lo desideri. Ecco alcuni dei risultati: 19/7, 87/32, 106/39, ecc Purtroppo non sembra che ci siano approssimazioni memorabile come 355/113 per pi.

È anche possibile utilizzare il codice per creare approssimazioni razionali per gli altri numeri se vuoi.Ad esempio, è possibile trovare la continua espansione frazione per pi  qui  e utilizzare il codice qui sopra per trovare approssimazioni razionali di pi.

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